De aarde staat een beetje schuin. Terwijl de aarde om de zon draait wijst de aard-as niet recht naar boven maar maakt een hoek van ongeveer 23,4 graden. Deze hoek noemen we de kanteling van de aardas en in berekeningen duiden we hem meestal aan met de griekse letter ε (Epsilon).
De aarde draait om haar as. Die as is de lijn tussen noordpool en zuidpool, niet magnetisch maar qua rotatie. De equator geeft het vlak weer dat onstaat door de as-draaiing van de aarade. Per definitie staan de aard-as en de equator 90 graden van elkaar verwijderd.
In de figuur geven we de ecliptica weer als een horizontaal grijs vlak. De ecliptica is het vlak waarin de aarde om de zon draait en ook dat vind je in de figuur terug. Boven en onder in de figuur vind je de noordelijke en zuidelijke pool van de ecliptica (North ecliptic pole en South ecliptic pole). Dat is de as waar de ecliptica om heen lijkt te draaien.
Maar de aarde zelf draait om een andere as en die loopt door de noordpool en zuidpool van de aarde zelf. In de figuur vind je die polen terug als North celestial pole en South celestial pole. Tussen beide polen zit een hoek van ongeveer 23.4 graden.
De equator – in groen aangegeven met Celestial equator – is het vlak waarin de aarde lijkt te draaien als gevolg van haar rotatie (de as-draaiing om de noordpool/zuidpool). Omdat de pool van de ecliptica en de pool van de aarde onderling 23,4 graden verschillen vind je ook tussen ecliptica en equator een hoek van 23,4 graden.
Gemiddelde schuine hoek en ware schuine hoek
De maan heeft invloed op de stand van de aardas, die invloed noemen we nutatie. De berekening van Epsilon die we hierna geven is een gemiddelde waarde. Door de nutatie treden kleine afwijkingen op in de orde van grootte van enkele boogseconden. In de formules laten we de effecten van de nutatie buiten beschouwing.
Nauwkeurigheid
Vaak gebruiken mensen een constante waarde als ze de schuine hoek van de aard-as (Epsilon) willen berekenen, typisch een waarde als 23.44. Voor berekeningen met een normale nawkeurigheid in min of meer de huidige tijd, is dat ruim voldoende.
Maar als je preciezer wilt rekenen, of als je ver terug of vooruit in de tijd wilt, moet je Epsilon opnieuw berekenen.
In bijgaande grafiek zie je de waarde voor Epsilon over een periode van 20.000 jaren. De waarde in de kolom 0 is voor 2000 CE en geldt momenteel (het rode blokje). Je ziet dat zo’n 8000 tot 9000 jaren geleden de waarde van Epsilon 24,2 was, dus een verschil van ruim 0,7 graden. 10.000 jaren in de toekomst is de waarde ongeveer 22,5 graden, bijna een graad verschil met de huidige stand.
Formule
ε (Epsilon) is ongeveer 23.447. Als je zelf programmeert kun je de waarde via de Swiss Ephemeris exact bepalen via swe_houses_armc(), het is de waarde ‘eps’.
De volgende formule is van Jet Propulsion Laboratory (NASA) en wordt ook gehanteerd door de International Astronomical Union.
ε = 23° 26′ 21,448″ − 46,815″ T − 0,00059″ T^2 + 0,001813″ T^3
Voor de factor T zie Factor t en delta T. In principe zou je ook delta T mee moeten nemen maar het effect daarvan is verwaarloosbaar klein.
Deze formule geeft een afwijking van ongeveer 1 boogesconde na 2000 jaren en van ongeveer 10 boogseconden na 10.000 jaren. Voor de huidige tijd werkt de formule zeer exact.
Als je ver vooruit of terug wilt in de tijd en nauwkeuriger wilt werken gebruik je de formule:
ε = 23° 26′ 21.448″ − 4680,93″ t − 1,55″ t^2 + 1999,25″ t^3 − 51,38″ t^4 − 249,67″ t^5 − 39,05″ t^6 + 7,12″ t^7 + 27,87″ t^8 + 5,79″ t^9 + 2,45″ t^10
NB De waarde voor t berekenen je door factor T te berekenen als aangegeven in Factor t en delta T . Daarna vermenigvuldig je de uitkomst met 100.
Deze formule geeft na duizend jaar een afwijking van maximaal 0,2 boogseconde en na 10000 jaar van enkele boogseconden. Deze formule kun je niet gebruiken vóór 8000 BCE en na 12000 CE
Voorbeeldberekeningen
We gebruiken dezelfde datum als in het rekenvoorbeeld voor factor T:
2 november 2016 (Gregoriaanse kalender) 21:17:30 UT
Factor T is 0,168388423
Eenvoudige formule:
ε = 23° 26' 21,448” − 46,815″ T − 0,00059″ T^2 + 0,001813″ T^3
Omzetten naar graden in decimale waarden
23,439291111111 – 0,0130041666667 * T – 1,63888888889e-07 * T^2 + 5,959274797e-09 * T^3
De waarden voor T invullen
23,439291111111 – 0,0130041666667 * 0,168388423 – 1,63888888889e-07 * 0,028354661 + 5,959274797e-09 * 0,00477459665056
Vereenvoudigen
23,439291111111 - 0,00218975111631 - 4,64701388611e-09 + 2,84531334822e-11 = 23,4371013554
Omgerekend naar graden, minuen en seconden
23° 26′ 13,13,56487944”
Uitgebreide formule:
ε = 23° 26′ 21.448″ − 4680,93″ t − 1,55″ t^2 + 1999,25″ t^3 − 51,38″ t^4 − 249,67″ t^5 − 39,05″ t^6 + 7,12″ t^7 + 27,87″ t^8 + 5,79″ t^9 + 2,45″ t^10
Omzetten naar graden in decimale waarden
23,439291111111 - 1,30025833333 * t - 0,000430555555556 * t^2 + 0,555347222222 * t^3 - 0,0142722222222 * t^4 - 0,0693527777778 * t^5 - 0,0108472222222 * t^6 + 0,00197777777778 * t^7 + 0,00774166666667 * t^8 + 0,00160833333333 * t^9 + 0,000680555555556 * t^10
Berekening t
t bereken je voor 10.000 jaar. Je doet dat door T door 100 te delen:
t = 0,168388423 / 100 = 0,00168388423
De waarden voor t invullen
23,439291111111 - 1,30025833333 * 0,00168388423 - 0,000430555555556 * 2,8354661e-06 + 0,555347222222 * 4,77459665056e-09 - 0,0142722222222 * 8,03986800449e-12 - 0,0693527777778 * 1,3538206944e-14 - 0,0108472222222 * 2,27967731756e-17 + 0,00197777777778 * 3,83871268452e-20 + 0,00774166666667 * 6,463947753e-23 + 0,00160833333333 * 1,08845396848e-25 + 0,000680555555556 * 1,8328304726e-28
Vereenvoudigen
23,439291111111 - 0,00218948450242 - 1,22082566619e-09 + 2,65155898711e-09 - 1,1474678278e-13 - 9,38912257592e-16 - 2,47281664535e-19 + 7,59212061286e-23 + 5,00417288114e-25 + 1,75059679568e-28 + 1,24734295034e-31 = 23,437101628
Omgerekend naar graden, minuen en seconden
23° 26′ 13,56586091”
Het verschil met de eenvoudige formule bedraagt een duizendste van een seconde en is zonder meer te verwaarlozen. In een zeer ver verleden of zeer verre toekomst kunnen de waarden meer uiteen lopen.
Referenties:
- Wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Axial_tilt
- Meeus, Jean: Astronomical Algorithms. Second edition. Richmond, Virginia, 1998.